波导结构减薄缺陷的定量化检测理论及方法

从基础的弹性波理论出发，层层推导，循序渐进，逐渐延伸到超声导波检测，更方便读者阅读和理解。

《波导结构减薄缺陷的定量化检测理论及方法》是关于工程结构中超声导波无损检测的理论、建模与数值计算的科技专著。《波导结构减薄缺陷的定量化检测理论及方法》介绍了超声导波的理论基础以及散射波场的数值模拟和缺陷重构算法，并演示了结构中缺陷定量化重构方法和重构的数值算例。《波导结构减薄缺陷的定量化检测理论及方法》共8章，主要包括：超声导波与力学理论基础；工程结构中超声导波散射理论与数值仿真；以及超声导波定量化缺陷重构算法研究与应用算例等。

序
前言
第1章 超声导波无损检测 1
1.1 无损检测 1
1.2 基于超声导波检测的基本原理 2
1.3 缺陷重构中噪声的处理 7
1.4 本书主要内容 8
参考文献 9
第2章 正交曲线坐标系下超声导波的频散特性 14
2.1 引言 14
2.2 直角坐标系和极坐标系下的波动方程 14
2.2.1 直角坐标系中的波动方程 16
2.2.2 极坐标系中的波动方程 17
2.3 正交曲线坐标系下的波动方程 21
2.3.1 WKB法求解 22
2.3.2 半解析有限元法求解 23
2.3.3 基于半解析有限元法的管道导波频散特性分析 27
2.4 本章小结 31
参考文献 32
第3章 边界积分方程理论基础 33
3.1 引言 33
3.2 流体中边界积分方程 33
3.2.1 流体中互易定理 33
3.2.2 辐射条件 35
3.2.3 散射问题的边界积分方程 36
3.3 弹性固体中边界积分方程 37
3.3.1 弹性固体中互易定理 37
3.3.2 辐射条件 39
3.3.3 散射问题的边界积分方程 40
3.4 本章小结 41
参考文献 41
第4章 超声导波散射波场模拟的数值方法 43
4.1 引言 43
4.2 边界元法 43
4.2.1 传统边界元法 43
4.2.2 修正边界元法 48
4.3 基于边界元法典型结构中散射波场计算 55
4.3.1 Rayleigh波散射波场的修正边界元法求解 55
4.3.2 Love波散射波场的修正边界元法求解 68
4.3.3 层合板中Lamb波散射波场的修正边界元法求解 73
4.4 混合有限元法 77
4.5 基于模式激发法的散射波场分析 93
4.6 本章小结 95
参考文献 95
第5章 基于边界积分方程的缺陷反演 96
5.1 引言 96
5.2 基于SH波的平板表面减薄缺陷反演 96
5.2.1 格林函数 97
5.2.2 反问题 98
5.2.3 数值算例 101
5.3 利用SH导波进行平板内腔缺陷反演 109
5.3.1 理论推导 109
5.3.2 数值算例 112
5.4 用Lamb波重构平板减薄缺陷 116
5.4.1 基本散射方程 116
5.4.2 数值算例 123
5.5 基于扭转导波的管道中减薄缺陷重构 127
5.5.1 采用扭转模态进行缺陷重构的理论推导 127
5.5.2 基于扭转模态导波T(0， 1)的缺陷重构数值仿真 130
5.6 本章小结 136
参考文献 137
第6章 半无限大结构的缺陷重构 138
6.1 引言 138
6.2 无覆盖层半无限大结构的缺陷重构 138
6.2.1 反问题 138
6.2.2 重构数值算例 141
6.3 含覆盖层半无限大结构的缺陷重构 145
6.3.1 格林函数 145
6.3.2 反问题 146
6.3.3 缺陷重构算例 149
6.4 本章小结 152
参考文献 152
第7章 基于傅里叶定量化缺陷重构 153
7.1 引言 153
7.2 圆环结构中表面缺陷的定量化重构 153
7.2.1 圆环结构中导波弥散方程 154
7.2.2 圆环中散射波场计算 161
7.2.3 傅里叶变换的定量化重构 161
7.2.4 数值仿真 163
7.3 基于傅里叶变换定量化的管道非轴对称缺陷重构 171
7.3.1 管道中非轴对称缺陷的散射波场数值计算 172
7.3.2 管道中非轴对称缺陷的重构 178
7.4 基于迭代傅里叶变换的定量化重构 181
7.4.1 圆环中缺陷重构 182
7.4.2 数值算例 184
7.5 层合板中缺陷重构 189
7.5.1 理论推导 189
7.5.2 数值算例 193
7.6 本章小结 196
参考文献 196
第8章 缺陷检测中噪声信号的处理 197
8.1 引言 197
8.2 基于小波变换的信号去噪 197
8.3 数值算例 205
8.4 本章小结 212
参考文献 212
附录A 213
附录B 216

第1章 超声导波无损检测
　　1.1 无损检测
　　工业中的常规无损检测与评估方法包括磁粉检测[1，2]、射线检测[3]、涡流检测[4-6]、相控阵检测[7-9]、超声波检测[10-13]等。其中，超声波无损检测凭借频率高、波长短，可与结构中的微小特征（如缺陷、裂纹、脱层等）相互作用，而不会损坏被检测构件的优点，被广泛用于各种工程测试。超声波无损检测与评估在管道类、板类结构以及复合材料结构等方面的应用正日益成熟。然而，传统的超声波检测技术多是利用布置在结构表面的超声换能器收发体波，对材料内部或与接触面相邻的近表面进行缺陷检测，覆盖范围极为有限。对于超长构件，如果采用逐点扫描，必然会消耗大量时间，且对于一些无法到达的区域一般无法实现检测。针对上述不足，越来越多的研究者致力于开发利用超声导波进行无损检测评估。一般认为，超声导波具有以下优点：①超声导波传播距离较远；②可不去除涂装和绝缘层进行检测；③可检测结构的整个截面；④无须复杂的旋转和走行装置；⑤对缺陷有较高的敏感度和精度；⑥低耗能和经济性[14，15]。目前，学者已经在机翼板等板类结构[16-18]、铁路轨道[19，20]、管道[21-23]等场合应用超声导波检测内部缺陷。
　　近年来，有学者借鉴医学领域的技术成果，提出了利用超声导波的层析（tomography）成像法，从各个方向照射对象（缺陷），通过透射或反射投影数据来重建被检测结构的图像。*初的层析成像法采用直线传播理论[24]，然而，若介质中存在较弱的散射体，导波将发生衍射，使直线假设不成立[25]，直接影响成像精度。后来有学者用弯曲射线追踪对直线传播进行修正[26]，但被指仅可略微提高精度[27]。近年来，采用傅里叶衍射定理（Fourier diffraction theorem，FDT）的衍射层析技术获得了国内外研究者的关注[28-30]。其基本原理是从二维标量势波动方程出发，根据超声波通过不均匀区（缺陷）产生的散射，通过收集散射波场的信息反演待检物内部的“波数不均匀函数”，数学上属于*基本的逆散射重构法。衍射层析成像法的数学推理较为严格，且综合利用了反射波场的相位、振幅等信息，提高了成像精度。Belanger等[29]研究了几种平板表面简单缺陷的衍射层析图像。Huthwaite等[30]则开发了一种结合弯曲射线法和衍射层析成像法的迭代成像方法。从重构结果看，改进后的衍射层析成像法可有效地重构缺陷的范围，也可较正确地反映其危害程度。然而，其局限之处在于：①入射超声导波为某单一频率，其直接成像的是“波数不均匀函数”，再根据频率-波数关系换算成板厚，故该方法对缺陷的重构结果仅为厚度变化，并不是真实形状；②其基本方程为宏观的二维标量赫姆霍兹（Helmholtz）波动方程，并未详细考虑导波和缺陷的相互作用，故难以推广到三维或多层模型。衍射层析成像法的成功和局限性，启发研究者从严格的弹性波动方程出发，将散射波场表示为关于缺陷区的边界积分方程（boundary integral equation，BIE）或体积分方程（volume integral equation，VIE），进而构造更为完善的逆散射缺陷重构格式。事实上，用超声体波（bulk wave）的逆散射问题解法已经颇为成熟。早期研究者讨论了使用P波反演重构无限大弹性体中孔洞的问题，如Rose[31，32]等；Kitahara等[33]分析了采用Born近似和Kirchhoff近似对不同种类缺陷重构的效果；Touhei[34]则研究了波数域弹性波逆散射的快速算法。此外，Guzina等[35]用地震波的地表位移数据反演重构地下孔洞。国内也有学者进行了超声波动场反演的相关研究。逆散射是否成功的关键在于，如何用准确的边界积分或体积分方程表示散射波场，以及采用何种近似使反问题归为线性问题或可迭代的形式[36，37]。而超声导波的弥散性和多模态性，使得准确构造相应的逆散射重构格式更为困难。迄今为止，只有少量的相关研究发表。Santos等[38]首先研究了刻痕状裂纹长度的定量化问题，Longo等[39]则探讨了重构平板连接处圆形脱层缺陷的方法。然而，他们的重构方法需要对缺陷形状有一定的事先认知或只是重构一个维度（长度方向）的尺寸。Singh等[40]探索了在二维平板表面的矩形、圆形、三角形缺陷的重构方法，他们*终采用优化算法找出缺陷的尺度（如边长、半径等），但这需要事先明确缺陷的位置和几何类别，因此限制了该方法的广泛应用。
　　1.2 基于超声导波检测的基本原理
　　早期的超声检测被广泛地应用于地质结构的勘探，发展较为成熟的定量化检测方法为衍射层析成像技术。1984年Devaney[41]就给出了地质结构中衍射层析成像的详细理论推导，该方法从波动方程的标量场出发，通过引入全空间结构中波场的基本解，建立散射波场和缺陷区域积分的方程，*终通过波数域和空间域的傅里叶变换重构出散射区域。1987年Blackledge[42]提出了基于声场的定量化衍射层析成像和弹性波的定量化衍射层析成像。这种衍射层析成像方法，基于严格的理论推导，具有较高的成像精度，但这种方法主要是针对标量场或只有单一方向位移波场的应用。Achenbach[43]提出了弹性动力学系统的互易定理，并针对缺陷建立积分方程严格阐述了缺陷形状和散射波场之间的关系。根据积分方程，Kitahara等[33]明确了Born近似和Kirchhoff近似的适用范围，即Born近似适用于一定尺寸缺陷的检测，而Kirchhoff近似适用于裂纹检测。由于积分方程中必须采用相应材料结构的全空间基本解，所以对于复合材料很难进行检测，且采用的体波衰减较快，对于大型结构的检测效率较低。为了解决体波衰减快的问题，有研究者提出了导波的概念，三维结构中的导波比体波衰减慢，而二维结构中的导波不会衰减，因此采用导波检测结构，其覆盖范围更广。
　　近年来，Wang等[44-46]采用导波重构了二维板中的各种缺陷，包括表面减薄缺陷和内部空洞缺陷。为了准确地重构出缺陷的形状，首要任务就是模拟结构中的散射波场。针对散射波场的数值计算，可供参考的方法也很多，如有限元法[47-49]、边界元法[50-52]、矩阵法[53]、模态激发法[54]、有限差分法[55-57]等。通常，有限元法适于各方向尺寸差距不大的结构，边界元法适于无限大、半无限大结构的波场模拟，有限差分法在时域的计算效率更高，但为了高效又准确地计算散射波场，常常采用几种方法的结合。基于散射波场求解得到的反射系数Cref，Wang等[44-46]分别采用SH波和Lamb波对二维板进行了定量化的重构，首先根据互易定理建立边界积分方程，然后利用Born近似（以入射场代替总场）和相应结构中的基本解，将边界积分方程进行简化，*终的缺陷形状可用反射系数的傅里叶变换得到
　　（1.1）
　　此式基于SH波，其中d（X1）为缺陷深度，表示关于坐标位置X1的函数；b为半板厚度；k为横波波数；ξn为第n阶SH波的波数；Cref为第n阶SH波的反射系数。如图1.1所示，纯实线表示缺陷的实际形状，根据SH波的不同模态得到的重构结果也不一样，多组缺陷的重构结果说明，*低阶模态的重构结果*为稳定，且*接近真实缺陷。采用这种定量化的重构方法，不用预知缺陷的大概位置和形状，只要通过反射波的信息就可以计算出缺陷的准确位置和形状。但这种方法的不足之处在于：①Born近似的小缺陷假设限制了缺陷的重构精度；②必须找到待测结构中解析的基本解。对于Born近似的不足，可以通过反复的模型迭代来克服，但相应结构的基本解很难推导，现在已有的解析形式基本解只针对几种规则的形状。
　　图1.1 基于不同模态SH波的重构结果
　　管道作为常用的输运工具，其安全检测也是当前热点问题。但管道中导波传播特性相当复杂，尤其是其弥散性和多模态耦合使操作者难以从散射波场中提取有用的信息[58]。为此，有必要对超声导波在管道中的传播机理，以及导波和缺陷的相互作用进行系统研究。首先是关于导波自身传播特性的研究，其中*重要的是根据弥散方程绘制频散曲线（频率-波数曲线）。对于各向同性弹性板中的导波弥散方程，经典著作中都有论述[59]，而对于各向同性弹性介质构成的管道，*早Gazis[60-62]通过三篇文章详述了管道中平面应变的振动模态和管道中导波的三维分析，结合一些近似处理给出了指定周向阶数的弥散方程。虽然无外力作用下管道的波场可以直接从波动方程求得，但需要求解的行列式较为复杂，尤其是轴向弯曲模态。近年来，随着计算机的不断发展，结合有限元分析管道中导波的弥散方程显得更为有效，借助半解析法[21，63]能够精确绘制出弥散曲线。利用这种半解析法，Bai等[64]推导了圆柱形层状压电材料中的弹性动力学格林函数，并绘制了周向波数分别为0和1的频散曲线。Marzani[63]详细分析了弹性材料和黏弹性材料中纵向模态和扭转模态，并与实验结果进行了比较。在工程检测中激发出相应模态的导波是非常复杂的工作，多年以来许多学者搭建了各种实验平台。1998年，Shin等[22]给出了纵振模态和弯曲模态的频散图，同时介绍了一种可以发射非轴对称模态导波的局部加载斜入射技术，并从实验中证明了弯曲模态的导波可以在一定距离上完全覆盖检测区域。Barshinger等[23]通过单个探头检查相对较长管道中的腐蚀和裂纹，该方法与标准的逐点扫描相比，节省了大量的时间和财力，而且可以在不去除绝缘层或焦油涂层的情况下检查管道。实验证明，导波在含缺陷管道中的散射信号不仅与缺陷的形状和激励信号模态有关，而且与接收信号的位置有关。沿管道母线方向传播的导波可以用来真实地检测管道中的缺陷，而不只是停留在纯理论层面。虽然很多研究者已经搭建了各种用于检测管道的实验平台，也得出了很多检测数据，从一定程度上得到了几种规则缺陷尺寸和单频反射信号之间的关系，但在不知道管道表面缺陷形状的前提下，如何开展缺陷的定量化检测仍是一个难点。
　　管道中*常用的导波除了沿母线方向传播的导波，周向传播的导波也是研究的热点，但两者相比，周向传播的导波更加复杂，因为周向导波的相速度是半径的函数，且受管道的壁厚影响较大。在实际检测中对于大直径管道采用周向传播的导波进行缺陷检测更为有效。为了进一步验证实验平台搭建的合理性，往往需要配合大量的理论分析和数值仿真。当然，在研究管道中导波与缺陷作用产生的散射波场时，必须利用导波弥散特性分析的结果。这种针对导波和散射物（管道缺陷）作用机理的研究称为正问题（forward problem）。Ditri[65]利用Auld[66]提出的二维模型中横截面波场的模态正交性，推导出管道横截面中模态正交性方程，并借助S参数公式建立了管道中周向裂纹张开角度与反射系数的关系，利用已知纯张力引起的近似裂纹张开位移，可推导出由轴对称模态导波入射产生的任意周向阶模态导波，且具有较大波长和应力分布均匀的散射波场公式。Bai等[64]基于半解析有限元法和波函数展开法，提出了一种用于研究管道中周向裂纹的散射波场问题的计算方法，该方法可以将三维波场散射问题分解为两个准一维问题，从而极大地缩短了计算时间，仿真结果表明管道中裂纹开口角度和深度都会影响反射波场的幅值。Rattanawangcharoen等[21]基于三维弹性理论，根据界面之间的位移和应力条件建立了传播矩阵，将有限元和波函数的展开用于分析管道中轴对称模态导波的散射波场，并通过计算弹性杆和双层各向同性圆柱中散射波场，证明了该方法的有效性和准确性。Duan等[67]通过加权残差公式发展了一种有效的混合数值方法，该方法从频域求解问题，通过傅里叶变换得到时域结果，并且为了分离时域散射波的模态，开发了一种技术：所有信号接收点都位于管道轴向，并采用二维傅里叶变换将时域结果变换到波数-频率域，从而将导波模态分离。该方法适用于求解含任意形状缺陷的长管道模型的波场。Baronian等[68]提出了几种迭代算法用于近似计算各向同性或各向异性材料