数学志异（修订版）

《数学志异》读者对象为中学生、大学生、中小学教师及数学T作者

《数学志异》主要内容包括数学悖论，第一次、第二次、第三次数学危机，哥德尔不可判定命题、混沌等非平凡问题；离散数学当中的有趣问题；数学思想与数学哲学当中的敏感问题等。如将来数学还会产生悖论与危机吗？尚未解决的数学难题是否为不可判定命题？既然是确定性系统为什么会产生紊动？愚公移山式的穷举法为什么可能无效？牛顿创立的微积分能得100分吗？数学家是些什么人？数学定理为什么要证明？等等。《数学志异》集知识性、思想性和趣味性为一体，说理直观严密，通俗易懂，充分展示数学之美妙，之深刻

王树和 著

目录
丛书修订版前言
第一版总序
前言
01离散篇 l
1.1神龟龙马，洛书河图 l
1.2三只鸽子两个窝 4
1.3好括号和姊妹洗碗 7
1.4兔子不是濒危物种 12
1.5兔儿兔孙与优选法 17
1.636军官问题与拉丁方正交试验 19
1.7这些钱怎么花 23
1.8劝君多画示意图 25
1.9棋盘之旅 29
1.10中国筹码游戏 32
1.II组合在几何中作怪 34
1.12投票排列名次是否公正一 38
1.13合时容易分时难 42
1.14夫妇入席问题 45
1.15把握机会，成自险出 46
1.16摔碎的砝码还能用吗一 53
1.17排队打水 54
1.18不患寡而患不均 57
1.19核按钮的钥匙 59
混沌篇 61
2.1面包师抻面与砍头映射 61
0.0混沌礼赞 65
2.3北京拉面的数学模型 68
2.4三角帐篷中的混沌 70
2.5蒙古包里的混沌 73
2.6面片上的混沌 74
2.7非整数维数的奇怪不变集 76
2.8生命游戏 78
2.920世纪最伟大的数学家之一 80
2.10混沌学座谈纪要 81
危机篇 87
3.1毕达哥拉斯学派何以把门生投入大海 87
Q.9有理数平易近人，可数可列一 90
3.3无理数神出鬼没，数不胜数 91
3.4有理数是米，无理数是汤 92
3.5问遍天堂地狱，谁人知丌真面貌一 93
3.6为全人类增添光彩的人物 97
3.7此人就是一所科学院 IOO
3.8第二次数学危机 102
3.9代牛顿圈改《流数简论》 105
3.10皮囊悖论 109
3.11整体等于其半 IIO
3.12神秘的康托尔尘集 113
3.13理发师悖论与第三次数学危机 116
3.14悖论欣赏 117
3.15哥德尔抖出了数学的家丑 124
思想篇一 126
4.1从秃头悖诠谈起 126
4.2数学内容是发现的还是发明的 129
4.3应用数学是坏数学吗 130
4.4数学定理为什么必须证明131
4.5数学家是些什么人135
4.6数学实验138
4.7各执己见，争吵不休141
4.8数学的非数学障碍146
4.9数学岂能孤立自己153
4.10数学是一种文化155
卷末寄语160
参考文献162

离散篇
离散数学是数学当中最美、最妙、最有人缘也最有难度的数学乐园和数学天堂。
1.1神龟龙马，洛书河图
公元前2200年，我国商周时代的《易经》中载：大禹治伏水患之后，洛河上浮出一只巨型神龟，背驮如图1 1所示的“洛书”献给大禹，作为苍天对他治水有功造福百姓的奖励。这幅天书横看、竖看和斜看，每一组由黑点子与白点子合成，总点数皆为15。后来人们把此洛书翻译成如图1-2所示的一个所谓幻方。
所谓幻方，是由1，2，3， ，n2 -1，n2组成的一个数字方阵，每数恰在此阵中出现一次，且每行之和，每列之和和两条对角线上的数字之和皆相等。
1275年，我国宋代著名数学家杨辉把洛书形象地描写为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。”破译了洛书的玄机，见图1 3。
“九子斜排”是按箭头方向分别把1，2，3；4，5，6和7，8，9排成具有右下方走向的一排，三个斜排组成一个倾斜45。角的正方形阵。
“上下对易”，指1与9对换，1移入最下空格，9移入最上空格，使得正中的头部戴了一个9的帽子，正中最低处穿了一双l字鞋，即“戴九履一”。
“左右相更”，指最右边的3与最左边的7对调，3移至左侧空格，7移至右侧空格。
至此造成一个四方阵，即“四维挺进”，又2与4分别在右上角（肩）与左上角，6与8分别在右下角（足）与左下角，即“二四为肩”“六八为足”。
杨辉的这种口诀中的关键词是“订2子斜排”“上下对易”和“左右相更”三句。图1 4和图1 5分别给出按杨辉口诀构作的5阶幻方和7阶幻方，任意奇数（大于3）阶的幻方皆可照此制作，但同阶幻方不是唯一的，高阶幻方的个数非常之巨大，例如五阶幻方就有一千多万个！另外，杨辉口诀不适用于偶阶幻方，偶阶幻方的构作十分困难。
“对易“和“相更”时，移动的步数恰为幻方的阶数，例如图1 501
离散篇④
(a)中顶上的1下降7步至33的上方邻格内，图1-5 (a)中的9下降7步至33的下方邻格内，图1-5 (a)中的7左移7步至25的左侧邻格，等等。
洛书对应的幻方史称“神农幻方”。
《易经》上又云，为奖励大禹功绩，一匹龙马从黄河跃出，把如图1 6所示的一张“河图”赠予大禹。
图1- 6(b)是相应位置上“点子”的个数，不过4个10的意思是被虚线联络的10个黑点子视为分布在它们形成的正方形的四个顶处。这样，河图的数学含量就大了：
从中心5向右加上4等于最有端的9；
从中心5向左加上3等于最左端的8；
从中心5向上加上2等于最上端的7；
从中心5向下加上l等于最下端的6。
斜着看，7J-9—2J-IO J-4 =16，8+6—3+lO+1—14，9+6—4+10+1=15，8+7—2_--IO+3=15.
洛书和河图出自四千多年前中华民族之手，是世界组合数学的最早成果，值得我们白豪；可惜它被后人神化，未能发展成系统的理论；中国几千年的封建君主统治，鼓励乃至强迫知识分子为皇帝歌功颂德，使大多数知识分子成为什么科学知识也没有，只会呼喊×××皇帝万岁的奴才，在这种社会背景之下，中国的许多本应领先的数学分支和组合数学一样，并没有发展起来。事实上，组合数学不仅是数学科学的重要分支，而且是信息产业和计算机科学的数学基础之一，现代数学教育和数学科研当中，必须给以足够的重视。
1.2 三只鸽子两个窝
三只鸽子出去觅食，晚上归巢柄息，它们共有两个窝，显然必有一个窝里至少住有两只鸽子，不然，即使每巢一只鸽子，还有一只鸽子不能回巢。一般而言，对于自然数n，n+1只鸽子佳在”个巢中，至少有一巢里不少于两只鸽子。
这一结论称为鸽笼原理或抽屉原理。
把m本书放入门个抽屉，m>粗，至少一个抽屉里放了多于本书，其中表示的整数部分。当m=n+1时，即n+l本书放入门个抽屉，至少一个抽屉里放不少于两本书。
事实上，若每个抽屉里放的书都不超过m本，则总的本数不超过m-l，与共有m本书矛盾。所以一定是有的抽屉里放了多于m-1本书。就是这么一个几乎不证白明的道理却能解千种难题，有万般应用。下面是一些应用鸽笼原理的生动实例。
①某军弹药库每天需一个班保卫，保卫排有六个班，一周内至少有一个班出勤两天。
②13人中必有两人同一个月份Ll生。
③商店里有10双皮鞋放在货架上，有11位顾客同时来购鞋，售货员给每位顾客拿出一只鞋试穿，则顾客们手中必有两只鞋恰是一双。
④从{1，2， ，2000）中选1001个数，其中必有两个，一个是另一个的整数倍。
事实上，取出的每个数可表成2”“，粗是非负整数，“是奇数，故对1到2000的每个数，“是1000个奇数1，3，5． ．1999中的数，可见在所选的1001个数中，有两个数的奇数因数“是一样的，它们是2”-“和2”z“，不妨设粗2>粗l，则2”-a÷21“一2”z-nl，即后者能被前者除尽。
⑤茌正六边形内任放七个点，则至少有两点之间的距离小于或等于该正六边形外接网的半径。连接正六边形的三条对角线如图1 7，由鸽笼原理，在图1 7的六个三角形的某个上面必然有放置的七个点中的两个，它们的距离不大于正六边形外接网的半径。
⑥把m1+m2十 十m，，-州+1个球放人n个盒子，其中m，m， ，7。皆正整数，则下面”件事至少发生一件：第一个盒子中至少有m，个球，第二个盒子中至少有m球， ，第""个盒子中至少有m。值大于r-l时，mi，m：，事实上，如果m， 事实上，若这n件事都不发生，则总球数不会超过(mi -l)+（m。-l）+ +（m。-l）一7T/l+7T/2+ +m。一n，而原来有球7T/l+7T/2+ +m。-n+1，矛盾。
⑦”（r-l）J-I个鸽子进入粗个窝，r是自然数，则至少一个窝里的鸽子不会少于r只。
⑧姐个自然数mi，m。， ，m。的平均 ，m。中至少有一个不小于r，r是自然数。i=l，2， ，加，则71+7T/2+ +m。<加r，与mi，m。， ，m，，的平均值大于r-l矛盾。
⑨任给定粗2+1个不等的实数组成的数列 “l，“2， ，“7 72+1
则此数列中至少存在由n+1个实数组成的单调递增或单调递减的子数列。
事实上，记m。是从“，开始最长的单调递增子数列的长度，若存在某个m。≥n+1，则命题⑨已成立。否则，m，a。。> >∞。+．，若不然，例如a，．<“：：，而由a。开始的递增子列的长度m。-m，再把a，，接到此子列前面，则知m，，≥m，+1一m+1，与m，，一m矛盾。至此找到由n+1个数组成的递增子序列“，，，“22， 。
例如17个数组成的数列9，8，18，20.7.5.4.6.11. 15．10. 13. 12. 19. 17. 3， 14，由命题⑨，上述数列中有4J-1=5个数组成的单调子数列，事实上，5，6，11，15，19就是一个。20，7，5，4，3是另一个。