乐在其中的数学（修订版）

作者尽了很大努力，企图将世界闻名的马丁·伽德纳的趣味数学与乔治·波利亚的发现技巧熔为一炉，尽可能将所有题材中国化、本土化，用行云流水的科学小品风格来拨动读者的心弦，引起读者的共鸣。
《乐在其中的数学》分10个方面，就数与形、逻辑、游戏、古今名题、概率运筹、循环回归、映射反演、文学艺术、书法建筑等，一幕又一幕地尘埃落定，展开了万花筒般的数学画卷。

谈祥柏　著

目录
丛书修订版前言
第一版总序
前言
01 古算题.逻辑.游戏.竞赛1
1.1阶下之囚1
1.2悟空拜师2
1.3金角、银边、草肚皮——关于围棋与数学的趣谈4
1.4路路通5
1.5在x2年我有x岁8
1.6葫芦里卖的什么药9
1.7全部角色都登场10
1.8错位的行当10
1.9巧猜年龄与口袋里的钱12
1.10不肯跳槽13
1.11绕开“陷阱”，谨防“中计”14
1.12巧查星期16
1.13趣话香港小学生数学邀请赛 18
02 几何.图形20
2.1神秘的失踪20
2.2苦瓜和尚回家记23
2.3十二宫填数游戏25
2.4形影不离26
2.5用复数找宝31
2.6炮打色当34
03 啊哈!灵机一动39
3.1怪题与洞察力39
3.2常数立奇功40
3.3已经赛过几场了41
3.4亲如一家42
3.5戏说“混合”43
3.6灵机一动45
04 概率.运筹.对策48
4.1方程求根赌输赢48
4.2瓜分赌注49
4.3生日的巧合50
4.4物以稀为贵51
4.5蒙特.霍尔问题55
05 幻方57
5.1反幻方57
5.2颠倒幻方59
5.3偏心幻方60
5.4象飞马跳，大行其道62
5.5素数幻方64
5.6六阶幻方之王66
5.7加乘混合，内外有别的幻方69
5.8幻方会阴盛阳衰吗71
06 递推.循环.回归.RMI(关系.映射.反演)
6.1不动点方法76
6.2无限递降法77
6.3从宝塔说到阴阳数串79
6.4从两人合坐一个位子说起81
6.5激浊扬清82
6.6拐弯抹角与明安图数列84
6.7代数胜过补药85
6.8心有灵犀一点通88
6.9素数高产田91
6.10紫砂茶壶的启示92
6.11连分数96
6.12从斗蟋蟀说开去101
07 可除性.有魅力的数.异想天开的除法105
7.17的奥秘105
7.2一二八与十九路军106
7.3不听使唤的19107
7.4夹心馅子109
7.5祸从口出110
7.6盛老七的车牌号码112
7.7飞檐走壁115
7.8上错花轿嫁对郎116
7.9鬼神不识118
7.10无字天书120
7.11充满“禅机”的数字121
7.12银河俱乐部里的1/13124
7.13马尾巴的功能128
7.14异想天开的除法130
08 迭代.拉平.混沌.分形133
8.1大家都拉平133
8.2狗抓耗子135
8.3混沌与分岔137
8.4天龙八部140
09 意外惊喜.新发现.新进展146
9.1你绝不会想到π在此出现146
9.2意外的惊喜147
9.3平分秋色149
9.4自然数王国里的“稀土元素”集团152
9.5在有理数与无理数之间架起一座“天桥”158
9.6水仙花数162
9.7大师的故事有了续篇164
10 大数学.大文化.万物皆数也170
10.1名人的生日170
10.2数学——美丽的科学171
10.3石匠密码172
10.4行话数字暗切头174
10.5一串数字寄相思176
10.6教我如何不想他177
10.7桃花源石碑诗180
10.8回文等式一担挑182
10.9美国人写草书的绝招184
10.10含数字的对联187
10.11灯谜与数学189
10.12完美的英语数词192
10.13深水抓大鱼——趣谈数学同英语的联系194
10.14数学与建筑195

01古算题.逻辑.游戏.竞赛
1.1阶下之囚
“我真发愁，”监狱看守员说，“警察帕金斯留了个条子说，昨天晚上他逮捕了两个牧师打扮的流氓。但我今早上班时却发现一共有三个牧师打扮的人，现在看来其中有一名是个真正的牧师，他是前来探望两个误入歧途的‘羔羊’的。问题是我现在分不清谁真谁假了。”
“这有何难？想办法问问他们嘛，”警官建议，“真人不说假话，真正的牧师一定是讲真话的。”
“你说得倒不错，但我也许正好问到那个骗子呢？帕金斯说过，这家伙是个撒谎老手，从来不讲真话。而那个赌棍则是个见风使舵的角色，他说起话来，时真时假，要看形势对他是否有利而定。”
警官走到单人牢房前。
“你是谁？”他问一号牢房里的囚犯。
“我是赌棍。”其人答道。警官又走到二号牢房前问：
“一号牢房里关着的那个人是谁？”
“骗子！”
警官又问三号牢房里的人：“你说一号牢房里的那人是谁？”
三号牢房里的人答道：“牧师。”
警官转身对看守员说：“很明显，你应该释放 ”
该放谁？
本题有许多解法，最直截了当的是，相信二号牢房囚犯的回答，他说的是真话，于是所有的说法就都是相容与无矛盾的，答案如下：
骗子关在一号牢房，
牧师关在二号牢房，
赌棍关在三号牢房。
逻辑趣题总是有着无穷的魅力，历来受到读者的喜爱。本文是根据美国著名作家巴纳德的一本畅销书译出的，原文写得非常诙谐有趣，令人喷饭。多看这类作品，不但可以提高自己的智商，而且能写出一手漂亮而流利的英语，幽默大师兼英文专家林语堂先生就特别赞赏这种英、汉对照的做法，但为了保持本书前后体例一致与节省篇幅，此处就不刊出英文的原作了。
1.2悟空拜师
唐僧收服孙悟空，是他到西天取经路上所干下的第一桩大事。如果没有这位神通广大的“齐天大圣”做他的大徒弟，也许他早就被妖怪们煮熟了当肉吃哩！
《西游记》里说，猎户刘伯钦，绰号镇山太保，恭送唐三藏到了大唐与鞑靼国的边境两界山，正在难舍难分、叮咛拜别之时，只听得山脚下叫喊如雷：“我师父来也！我师父来也！”吓得唐僧胆战心惊。
伯钦道：“这叫的必定是那山脚下石盒中的老猿。”三藏追问：“是什么老猿？”伯钦道：“这山旧名五行山，因我大唐皇帝征西，改名两界山。从前曾听到老人家说，王莽篡汉之时，天降此山，下面压着一只神猴，不怕寒暑，不吃饮食，自有土地神监押，教它饥餐铁丸，渴饮铜汁。自昔到今，冻饿不死。长老莫怕，我们下山去看看。”走了几里路，果然那石匣之下，有一只猴子露着头，胡乱招手道：“师父，你怎么此时才来。来得好！来得好！救我出来，我好保你上西天去也！”
唐僧上前细看，这猴果然浑身仙气，尖嘴缩腮，金睛火眼，便问道：“你是何人？为何关在这里？压在这里多少年了？”那猴回答：“我是齐天大圣孙悟空，只因大闹天宫犯了欺君大罪，被如来佛祖压于此处。前些日子观音菩萨叫我在此等候师父救我脱身，我愿拜您为师，保您到西天取经。至于压我多少年了，只记得早已超过了六百年。”唐僧一听此言，忽然动了好奇心，便追问它压在山下的确切年数。
那猴儿把眼睛眨巴眨巴，调皮地说：“小徒请师父计算一下：
那年头呀：说来倒是真巧！此数若用3除，余数为1；用5除时，余数也是1；用7除时，余数偏偏仍旧是1。只要师父掐指一算，这个准确数字就出来了。”
正好当时伯钦也在跟唐僧学算术，于是唐三藏就先让他来试上一试。伯钦想，这是一个很现成的题目，调皮的猴头可难不倒我哩。不是有一首很有名的“韩信点兵”歌诀吗，它一共有四句：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支；
七子团圆正半月，除百零五便得知。
用它来解决除数为3、5、7的问题可以迎刃而解，这就是说，只要用以3除所得的余数去乘70，以5除所得的余数去乘21，以7除所得的余数去乘15，把这三个乘积加起来，所得之和或加上、减去105的整数倍就可以得出符合题意的答数。
于是他写出算式
1×70+1×21+1×15=106
106+5×105=106+525=631
他得意洋洋地向唐僧汇报，孙悟空被压在五行山下，到此正好是631年。
谁知唐僧却批评他这种解法很笨拙，只知死套公式，不会灵活运用。他说：“好比是看菜吃饭，量体裁衣，做题目也是这样，能取巧的地方就尽量取巧。否则，要被孙猴子讥笑的。你不去想想，用3、5、7这三个除数去除时，余数统统都是1。非常明显，满足题意的最小自然数就是1。因为，商数统统可以看成是零啊！这样一来，再加上3、5、7的最小公倍数105的整数倍，直到它超过600，答数不是就自动露头了吗？”
1+105×6=1+630=631
唐三藏揭去了金字封条，只听得一声山崩地裂之响，悟空得救而出。三藏收了第一个徒弟，取名行者。师徒两人，别了伯钦，走上了西天取经的大路。
这里值得补充一句的是：唐僧取经是在唐太宗李世民贞观十三年（公元639年），而王莽篡位的那年是公元8年，两者相减，639-8=631;所以并不是我们有意要改变数据，把题目改得比较容易，而是自然而然的巧合！
《西游记》由于长期流传，辗转抄写，所以书中也不可避免地有些错误。这一桩故事，有些抄本上说是孙猴子被压五百年，但是“真本”《西游记》书上，却明确说的是六百年，所以读者必须考证精确，才不至于以讹传讹。
1.3金角、银边、草肚皮——关于围棋与数学的趣谈
围棋界有句口头禅：“金角、银边、草肚皮。”意为首先抢占棋盘角上的位置，那里最容易盘活。其次考虑在棋盘上靠边的部位布阵，那里也容易生根立足。至于棋盘的腹部呢？四面不靠，正是兵家所谓的“四战之地”，很容易被包围吃掉(图1-1)。
图1-1
中国古代著名学者、《梦溪笔谈》的作者沈括曾经研究过棋局，他根据棋盘上每一点都有黑、白、空三种可能，而围棋盘上共有19×19=361点，所以可能产生的不同局势总数共有3361种（实际上应该是3361-1，想一想，这是为什么）。
3361这个数字究竟有多么大呢？用常用对数来估算一下，就可以知道3361＞1.72×10172这个数字之大，一般人想象不出。假定全世界的66亿人口不论男女老幼都来下围棋，每人每天下一局，要下完1.72×10172局棋，就得花费1.72×10159年，然而目前推算出来的宇宙年龄也才不过200亿年，即2×1010年。即使从开天辟地的第一天就下围棋，到如今也才下了全部局数的亿亿亿分之一。
如果再从运筹学的角度来考虑，围棋的变化就更加惊人了。在19×19的棋盘上，下第一子的人可以有361种选择机会，接着的人就只有360种选择机会，依次递减，全部变化将达361×360×359× ×2×1=361！，称为361的阶乘（阶乘指从1开始的n个自然数连乘，记作“n!”）。
3361与361!比起来，真是小巫见大巫。用数学方法可以大致估量出361！＞1.43×10768。目前世界上最快速的电子计算机，每秒可做2500亿次运算，而一年有365×24×60×60=31536000秒，即使动用这种超高速计算机，也需要1.81×10749年。宇宙的年龄与之相比，简直是沧海一粟了！
迄今为止，用数学方法对围棋作定性、定量的研究仍很肤浅，甚至可以说还没有真正起步。因为，围棋的本质决定了它只能用“离散数学”的办法加以探讨，至于以“极限”、“无穷小”为基石的微积分之类高等数学统统都用不上。
由当代三位第一流数学家合编的对策论巨著《稳操胜券》，几乎囊括了古今中外一切智力玩具与游戏的获胜原理与最优着法，即便是此书，对有名的围棋也未涉及一字。有人戏言，找出围棋的最优解，似比人类攻克癌症或者在火星和金星上建造永久定居点还要困难得多，这或许不是夸大其词吧！
1.4路路通
“四四呈奇”是历史上有名的数学趣题，中、外数学名家们都曾加以研究，其中有英国剑桥大学罗斯鲍尔教授，美国数学科普大师马丁?伽德纳先生，苏联数学家柯尔詹姆斯基，中国数学会第一届理事，扬州中学数学教师陈怀书先生，西北工业大学姜长英教授，著名数学教育家许莼舫先生等。用加、减、乘、除、括号、小数点、循环节、根号、阶乘以及数字的并列等符号，连接四个4，可以组成从1到100以上的各个自然数。
各位前辈学者的办法各不相同，有繁有简，大异其趣，真是“八仙过海”，各显神通。
以下12个式子，是许莼舫先生的办法
下面再给出马丁.伽德纳的结果，似乎简单得多，然而从另外一个角度讲，也是“仁者见仁，智者见智”，可谓各有千秋
当然，伽德纳先生也不是不用复杂解法的。例如，他曾在《科学美国人》数学游戏专栏内， 出过一道怪题：“怎样用四个4来表示113呢?”许多人都被他考住了。能找出正确答案者寥寥无几。
“解铃还需系铃人”，后来伽德纳先生自己给出了答案，那就是