刘徽评传（精装）——中国思想家评传丛书

本书是中国古代五位数学（刘徽、李治、秦九韶、杨辉、朱世杰）的合传。书中对这五位数学家的生平事迹及数学成就作了比较全面的介绍，并对其科学成就的思想基础作了深入的分析和评述。

《中国思想家评传丛书》序
刘徽评传(周瀚光著)
刘徽像及其他有关图像资料
第一章 “数学界的一大伟人”—— 刘徽
第一节 刘徽所处的时代
第二节 刘徽的籍贯和生平
第三节 刘徽的《九章算术注》及其主要数学成就
第二章 刘徽的科学思想
第一节 逻辑思想
第二节 极限思想
第三节 重验思想
第四节 求理思想
第五节 创新思想
第六节 辩证思想
第三章 刘徽思想源流考
李冶评传(周瀚尤著)
第一章 李冶的生平及其学术道路
第一节 动荡的社会环境
第二节 坎坷的学术道路
第三节 不朽的数学名著
第二章 李冶的科学思想
第三章 李冶的其他思想
秦九韶评传（孔国平著）
第一章 秦九韶生平
第二章 秦九韶的数学思想
第三章 秦九韶的哲学、经济和军事思想
杨辉评传（周瀚光、徐灵芳著）
第一章 杨辉的生平及其著作
第二章 杨辉的数学成就
第三章 杨辉的科学思想
朱世杰评传（孔国平著）
第一章 朱世杰生平及其著作
第二章 朱世杰的数学思想
索引
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书摘
创立了计算较复杂立体体积的“刘徽定理”。一般说来，多面体的体积好计算些，而曲面体的体积计算，特别是对计算公式的证明就麻烦些。刘徽在推证圆台、圆锥和球的体积时，分和它们的外切正方台、正方锥、“牟合方盖”比较，结果他发观：圆台与其外切正方台(以及另两对)的平行于底的截口的面枳之比等于π：4，因而它们的体积之比也是π：4。如果正方台的体积已经求出，那么很显然，由比例关系可立刻求出圆台的等体积。这种算法我们可称之为“刘徽定理”，它已经包含了后来“缘幂势既同，则积不容异”的“祖氏原理”。
改进了线性方程组解法。《九章算术》中解线性方程组用“直除”法，原理正确，手续稍麻烦些。刘徽虽然也用直除法，但是他在解一个二-元线性方程组时却改用相当于现代的加减消元法，并且说：“以小推大，虽四、五行不异也。”就是说可以推广到任任意元数的线性方程组解法。此外他又建立两种新方法。
完成重差术著作。重差术是一种用两次差进行间接测量的方法，刘徽说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故日重差也。”在刘徽之前已经有重差之名，但没有具体内容，刘徽给出九个问题及其解法，写成《重差》一卷，附于《九章算术》之后，后来人们把它分出来并改名为《海岛算经》。 中国古代没有三角，重差术可以起三角的
作用。
刘徽对“阳马”(方锥)的研究、对正负术的研究等等都有创造性，这里不多列举了。”

从以上的比较中可知，刘徽确实非常善于从各家思想和学说中吸取营养，用来为自己的数学研究工作服务。他不但博学多识，极其谙熟先秦和两汉诸子百家的典籍，把其中的典故、成语、箴言信手拈来，融于自己的著作中；而且能够自觉地把哲学家和思想家们对一般思维规律的研究成果作为自己科学工作的指导原则，把原来的一些对自然万物的朴素的思辨性猜测真正上升到科学的高度。这种对各家思想的通达运用，造就了刘徽思想的博大精深和丰富多彩。大致说来，刘徽从《周易》中主要吸取了关于数学的起源和作用的思想，吸取了探赜索隐、易简明理、触类而长、殊途同归的思想；从《老子》中主要吸取了化圆为方、直曲统一、以少御多、一多相成的辩证思想；从《庄子》中主要吸取了庖丁解牛、由术进道以及无穷大、无穷小和无穷分割的思想；从《墨子》中主要吸取了概念、判断、推理、定义、证明、反驳等一整套逻辑思想以及“非半弗靳”的无限思想；从《论语》、《荀子》等儒家典籍中主要吸取了举一反三、告往知来、以一知万、由近知远的认识方法以及注重效验、多闻阙疑的实事求是态度；从《管子》中主要吸取了用规矩度量等数学方法为自然万物立“法”的思想；从《淮南子》中主要吸取了知识大树枝条万千而本于根端的思想以及天道变通、不能胶柱调瑟的思想；从《论衡》中则主要吸取了天地万物皆精微之气的思想，注重证据、反对空言的思想，以及不迷信权威、敢于创新的思想。以上这些思想经过刘徽的加工改造，融会贯通，并进一步运用到他的数学研究工作中去，无疑使他的科学创造如虎添翼，理论水平大大提高。以其所创造的“割圆术”而论，至少是在他融会贯通了《老子》的圆方统一的思想、《庄子》的无穷分割的思想、《墨子》的“非半弗*”的思想之后，再加上他自己对《九章算术》的“详览”和“探赜”、对数学义理的刻苦钻研和精思穷究才得以完成的。可以想见，如果没有先秦两汉诸子思想以及当时社会学术思潮对他的启发、滋养、促进和影响，刘徽要取得如此高的科学成就也是不可能的。从这个意义上说，刘徽这样一个伟大科学家的造就，既是偶然的，又是必然的。在刘徽的身上，我们可以看到传统和发展的统一，继承和创新的统一，科学和思想的统一，历史和未来的统一。

清《四库全书》编纂者对《益古演段》的案语也说：
盖《测圆海镜》以立天元一法为根，此书即设为问答，为初学明是法之意也。所列诸法，文皆浅显。盖此法虽为诸法之根，然神明变化，不可端倪，学者骤欲通之，茫无门径之可入。惟因方圆幂积以明之，其理犹属易见。故冶于方圆相求各题下，皆以此法步之为草，俾学者得以易入。其误者正之，疏者辨之，颠倒者次序之，各加案语于下，庶得失不掩，俾算家有所稽考焉。
前面说过，金元之际论及“天元术”的著作，除李冶的两部以外，尚有洞渊“九容之说”、蒋周《益古》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝谐《如积释锁》、元裕《细草》、东平《算经》、彦材《算经》及《复轨》等书，但这些著作全部失传而惟有李冶的两部著作保存下来并流传至今。个中原因当然很多，但李冶的著作深入浅出，晓然示人，与其他著作文字晦涩、隐秘难懂的文风不同，恐怕也是一个重要的因素。也正是由于李冶的这两部留传下来的宝贵著作，才使我们能够了解金元时期数学发展的先进水平，并使后人得以继承和发展祖国数学的丰富遗产。李冶对数学新思想的普及、传播之功，应该也是不可抹杀的。
李冶晓然示人的科学思想，还表现在他反对那种把数学与社会人事主观比附、生拉硬扯在一起的象数神秘主义。这种主观比附和生拉硬扯不仅无助于说明社会人事的原因和规律，而且给数学包裹了一层神秘的外衣，使本来很明确无疑的数学原则反而变得晦涩不显。李冶的努力，就在于剥去那一层神秘的外衣，还数学本来的科学面目。例如他批评西汉末年刘歆的《三统历》说： 刘歆说三统历术配合《易》与《春秋》，此所谓言及于数，吾无取焉。夫《易》载天地万物之变，以明著吉凶悔吝之象；《春秋》褒善贬恶，代天子赏罚，以垂法于后世；至于章蔀发敛之术，则羲和氏实掌之；而歆乃一一相偶，是亦好异者矣。且《易》有卦有爻，其二篇之策当期之日，犹得以强论之；夫所谓《春秋》者，属辞比事之书，与数学了不相干，而亦胡为妄取历算一一而偶之哉?班固不明此理，不敢削去，千古而下，又无为辨之者，深可恨也! (《敬斋古今黈》卷三)
在李冶看来，《周易》中因有卦爻的排列，故与数学尚有一定关系；至于《春秋》则全系褒善贬恶的社会人事，与数学毫不相干，根本没有必要与历算强拉硬扯地一一比附。这种“妄取历
算一一而偶之”的做法，只能使数道日晦，对数学的发展绝无好处。即使对于《周易》，也不能到处都用数字去牵强附会。比如《周易》复卦的卦辞曰：“反复其道，七日来复。”魏王弼解其义曰：“阳气始剥，至来时凡七日；”而唐孔颖达则引郑康成所取易纬之数来进行繁琐的比附。李冶批评说：“辅嗣(王弼)之解，岂不至甚简径乎?又何必傍取易纬之数以附会之也。……每每如此，故其说多不能通。”(见《敬斋古今黈》拾遗卷四)当然，李冶并不是反对把数学应用于社会人事，他自己就曾说过：“术数虽居六艺之末，而施之人事则最为切务”(《益古演段自序》)。他所要反对的，是那种把数学与社会人事进行荒谬比附的象数神秘主义，是那种故弄玄虚、眩人耳目的伪科学。他的愿望，是要把数学作为一门真正的科学而使人明白易晓；从而使数学沿着正确的道路不断向前发展。

对天元术的早期研究，完全是为了解决实际问题。但从李冶《测圆海镜》来看，他已开始突破实际应用的束缚。他的主要兴趣在于方程理论本身，而不是问题的实际意义；朱世杰沿着
这条道路继续前进，他的方程理论具有更加纯粹的数学性质。例如《四元玉鉴》上卷“直段求源”第十八题中，他用天元术导出了高达十次的方程。原题为：“今有积，以和乘之，减积，余以平乘之，加和得一十七万七千一百六个二步。只云和为益实，四为益方，三为从上廉，二为益下廉，一为正隅，三乘方开之，如平四分之一。问长平各几何?”
为叙述方便，平、长分别以a、b代之。依术列式，设开方数为x，贝，J 4x＝a，
∴ x4-2x3+3x2-4x-(a+b)＝0． (1)
由已知，
a|ab(n十b)-9b |+(a+b)＝177162． (2)
由(1)(2)，得
-x4+2x3-3x2+4x+177162＝a[ab(3+b)-ab]． (3)
又 (a+b)-9＝x4-2x3+3x2-8x＝b，
∴a[ab(a+b)-ab]
＝4x[4x·(x4-2x3+3x2-8x)
(x4-2x3+3x2-4x)-4x(x4-2x3+3x2-8x)]
＝16x10-64x9+160x8-384x7+512x6
-544x5+464x4+128x3． (4)
由(3)(4)消得
16x10-64x9+160x8-384x7+512x6-544x5
+465x4+126x3+3x2-4x-177162＝0．
开方，得
x＝3．(下略)
这种高次方程远远超过了实际需要。类似的例子，在《四元玉鉴》中还有许多。
……