大家好!这里是天天听好书。今天我们要讲的是江苏人民出版社2021年6月出版的《数学与艺术》。
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作者蔡天新是著名数学家。本书沿着历史轨迹,探究了数学与艺术的相互关系。毕达哥拉斯提出“万物皆数”的命题,后来亚里士多德的《诗学》和欧几里得的《几何原本》,分别建立起艺术和科学的准则。文艺复兴时期,造型艺术与几何学紧密相连,代表人物有阿尔贝蒂、达·芬奇和丢勒。在天才的世纪里,跨界人物频繁出现,有“音乐家中的数学家”巴赫和“数学王子”高斯。过去两个世纪以来,各种流派纷呈,涌现出了精神分析学和非欧几何学、超现实主义和表现主义、拓扑学和抽象代数,前一对体现出了理论上的契合,后两对则属于创作和研究实践。
全书共六章。这里要讲的内容来自第一章的“毕达哥拉斯”。毕达哥拉斯是古希腊时期的数学家。那么,毕达哥拉斯有哪些数学成就?对后世又有什么影响?这就是本章的内容。
在古典时代的地中海,米利都曾经是希腊在东方最大的城市。在米利都附近的爱琴海上,有一座叫萨摩斯的小岛。岛上的居民比陆地上保守一些,盛行一种没有严格教条的奥尔菲主义,经常把有共同信仰的人召集在一起。这或许是让哲学成为一种生活方式的开端。这种新哲学的先驱就是毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯生活在公元前580年至前500年间。他成年后,离开萨摩斯岛,到米利都去求学。据说,毕达哥拉斯早年拜访过当时著名的数学家泰勒斯。可是,泰勒斯却以年事已高为由拒绝了他,但建议他去找另一位哲学家阿那克西曼德。毕达哥拉斯不久发现,在米利都人眼里,哲学是一种高度实际的东西,这与他本人超然于世界的冥想习惯正好相反。
按照毕达哥拉斯的观点,人可以分成三类,最低层是做买卖交易的,中间层是参加奧林匹克体育竞赛的,最高一层是旁观者,也就是所谓的学者,或者哲学家。后来,毕达哥拉斯离开了米利都,独自一人,一路游历来到埃及,在那里居住了十年,学习了埃及人的数学。后来,他在埃及做了波斯人的俘虏,又被掳到了巴比伦,在那里住了五年,掌握了更为先进的数学。当毕达哥拉斯乘船返回自己的故乡的时候,时间已经过去了19年。
可是,保守的萨摩斯人仍无法容纳毕达哥拉斯的思想,他只好再度漂洋过海,到意大利南部的克罗托内城,在那里安顿下来,广收弟子,形成了所谓的毕达哥拉斯学派。尽管这个社团是个秘密组织,有着严格的纪律,但是,他们的研究成果并没有被宗教思想所左右,反而形成了一个流传了2000多年的科学和数学传统。在古希腊语中,“哲学”和“数学”这两个词就是毕达哥拉斯所创造的,前者的意思是“智力爱好”,后者的意思是“可以学到的知识”。
毕达哥拉斯学派的数学成就主要包括:毕达哥拉斯定理,特殊的数和数组的发现,比如完美数、友好数、黄金分割,等等。这些发现有的至今悬而未决,比如完美数和友好数,有的被应用到日常生活的方方面面,有的比如毕氏定理,则提炼出了费尔马大定理这样深刻而现代的结论。与此同时,毕达哥拉斯学派注重和谐与秩序,并重视限度,认为这就是善,同时强调形式、比例和数的表达方式的重要性。
毕达哥拉斯发明的第一个定理是,直角三角形的斜边的平方,等于两条直角边的平方之和。这就是著名的毕达哥拉斯定理,也叫勾股定理。
这是早已被巴比伦人和中国人发现的定理,但是,这个定理的第一个证明,是由毕达哥拉斯给出的。毕达哥拉斯还发现,三角形的三个内角之和,等于两个直角之和。
关于自然数,毕达哥拉斯的成就,是发现和定义了完美数和亲和数。完美数是这样一个数,它等于其真因子的和。
而亲和数是其中的任意一个数是另一个数的真因子之和。例如,220和284,这是毕达哥拉斯学派发现的。后人为亲和数添加了神秘色彩,使其在魔法术和占星术方面得到应用。直到2000多年以后,17世纪法国数学家费尔马,才找到第二对亲和数,他的同时代的数学家和哲学家笛卡尔,则找到了第三对亲和数。18世纪,瑞士数学家欧拉找到了60多对亲和数,运用现代数学技巧和计算机,数学家们发现了一亿多对亲和数,但是,第二对最小的亲和数,是19世纪后期的一位16岁的意大利男孩找到的。
毕达哥拉斯学派还提出了黄金分割。黄金分割比是指,把一条线段分割成两部分,使其中一部分与全长之比,等于另一部分与这部分之比,其比值是:0.618。
按照这样的比例设计的造型,特别美丽,被称为黄金分割。这个数值不仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有重要的应用,在日常生活中的应用也比比皆是。
更为难得的是,毕达哥拉斯的思想持续影响了后世的文明。在中世纪时,他被认为是“四艺”的倡导者和鼻祖。所谓的 “四艺”,就是指算术、几何、音乐和天文四门学科。在天文学方面,毕达哥拉斯最早发现,晨星和昏星是同一颗星,后来被称为金星。
欧洲文艺复兴以来,他的观点如黄金分割、和谐比例等都被应用于美学。16世纪初期,波兰人哥白尼认为,他的“日心说”属于毕达哥拉斯的哲学体系;稍后,发现自由落体定律的意大利人伽利略,也被称为是毕达哥拉斯主义者;而17世纪创建微积分学的德国人莱布尼茨,则自认为是毕达哥拉斯主义的最后一位传人。
谈到音乐,在毕达哥拉斯看来,音乐是最能对生活方式起到净化作用的。他发现了音程之间的数的关系。一根调好的琴弦,如果长度减半,就会奏出一个高八度音。同样地,如果琴弦缩短到三分之二,就会奏出一个第五音;而如果缩短到四分之三,则会奏出一个第四音。换句话说,数的比例决定了音调。
毕达哥拉斯发现,在一台钢琴上,无论怎样调音,都不能同时精准地弹奏高八度音和第五音。这是因为,两个相隔八度音的音符发生频率为2:1,而两个相隔五度音的音符发生频率为3:2,而这两个比率是不可通约的。
调好的琴弦与和谐的概念在希腊哲学中占据重要地位。和谐意味着平衡,也就是对立面的调整和联合,就像音程适当调高调低一样。20世纪英国哲学家罗素认为,伦理学里的中庸之道等概念,可以追溯到毕达哥拉斯的这类发现。
音乐上的发现直接导出了“万物皆数”的理念,这可能是毕达哥拉斯学派最本质的哲学思想。在毕达哥拉斯看来,一旦掌握了数的结构,就控制了世界。
在此以前,人们对数学的兴趣,主要源于实际的需要,例如埃及人是为了测量土地和建造金字塔。而到了毕达哥拉斯那里,研究数学是为了探求知识。这一点从毕达哥拉斯对“数学”和“哲学”的命名中,也可以看出来。又如,在古希腊语里面,“计算”一词的原意是“摆布石子”。他们从数学的角度解释世界,从而确立了自然科学的发展方向。
毕达哥拉斯认为,数字是神灵的语言。他指出,在我们生活的世界,多数事物是匆匆过客,随时会消亡,只有数字和神灵是永恒的。当今世界早已进入数字时代,这似乎也是毕达哥拉斯的一个预言。
总之,毕达哥拉斯是古希腊数学家,他建立了毕达哥拉斯学派,发明了勾股定理,提出了黄金分割,发现了音程之间的数学关系。毕达哥拉斯是算术、几何、音乐和天文四门学科的鼻祖,对后世文明的发展,产生了持续的影响。
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《数学与艺术》
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出版社:江苏人民出版社
作者:蔡天新 著
出版时间:2021年06月
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