老师没教的数学

　　本书是面向各年龄层次数学爱好者、以及自认为"数学不好的人”的一本科普书。

　　本书的创作宗旨在于选择有趣且不太为人熟知的数学问题，从有意思的角度切入讲解问题，力求以浅显和生动的语言，将较为高深的数学知识介绍给读者，使读者不但能理解这些问题，更能获得思路继续研究和赏玩，从而获得更多乐趣。让读者摆脱数学恐惧症，建立数学思维，爱上学数学。作者也将数学家攻克此问题的过程中所遇到的困难，解决困难的思路一一整理，呈现给读者。让读者既能有读"历史”书一般的趣味，也能感受数学家的高超思维模式与某些问题的意外困难。

 　　本书涉及的数学问题方面很广，包含数论，图论，微积分，概率论，博弈论，物理中的数学等等，按话题内容方向组织为8章，基本按从易到难排列。其中末章"历史趣味”是泛数学文化方面的话题，有助于读者体会到数学之美，增加对数学文化的理解和兴趣。

 　　每一章末尾，作者还会留些与该章话题相关的"思考题”，多数题目的答案是开放性的，激发读者继续思考问题的乐趣。书中还配有相当数量的插图，便于读者直观理解。

　　李有华 

LEVEL: 0! 寻找数字中的宝石——梅森素数／ 002

三人分蛋糕问题／ 012

 移动沙发问题／ 023

环内找方——内接正方形问题／ 031

连点找多边形——幸福结局问题／ 037

最出名也最难的考拉兹猜想／ 043

LEVEL: 2! “完美立方体”存在吗？／ 056

 数学家搞清楚了五边形地砖数量／ 060

涂色涂出来的一个超大数——葛立恒数／ 070

画树画出一个大数——TREE（3）漫谈／ 076

神秘的 0.577——欧拉 - 马歇罗尼常数／083

LEVEL: TREE(2) “任意大”与“充分大”谁大？／ 092

意外的不“平均”——从“本福特定律”到“双信封悖论”／ 096

看似公平的猜拳游戏／ 104

用物理定律解决的数学问题——最速降线问题／ 111

你追我赶的蜗牛——有关对数螺线／ 122

 三体问题杂谈／ 132

“若积跬步，必至千里”——埃尔德什差异问题／ 144

LEVEL 0.2001(eπ-π) 一场由“无穷小”引发的危机／ 156

我“几乎”懂了／ 162

两个捣蛋的天才学生——贝尔不等式的简单数学解释／ 168

微信群是“幺半群”？天干、地支、五行都是“群”？／ 177

本命题没有证明——哥德尔不完备定理／ 191

数学家比较了两个无限——有关连续统假设／ 197

选还是不选？——选择公理之争／ 203

从“帕里斯 - 哈林顿定理”到“不可证明性”的证明／ 212

LEVEL: 2Πprime(p2+1 p2-1 ) 密码学快速趣味入门／ 222

漫谈 AlphaGo、围棋、数学和 AI ／ 238

聊聊数学三大奖：菲尔兹奖、沃尔夫奖、阿贝尔奖／251

聊不尽的勾股定理／ 258

后记／ 271

附录 配图说明及来源／ 277

前言 　边玩边学 学习老师没教的好玩的数学

　　大家好，我是“大老李”。 我在“喜 马拉雅FM”发布第一条声音时，万万没 想到居然还能以书面形式跟大家“玩”数 学。原本想继续用“聊”数学这个标题， 但是编辑劝我用了“玩”这个字。起初我 还有点犹豫，怕自己写的东西不好玩。但后来我想到英语里“玩”就 是“play”，“play”这个词又可以用在诸如足球、乐器这些文体活动上，而 对我来说，数学就像是一种文体爱好，所以用“玩”是再恰当不过了。 很多人心目中的数学与“玩”联系不起来，他们想到数学多是先 想到一些枯燥的公式和习题。我从小数学成绩就比较好，经常有人问 我是怎么学数学的，学得不累吗？我那时就有点不知如何作答，因为 确实是不累啊。 首先，数学是不用“背”的学科。小时候，我尤其讨厌那些 需要大量时间背诵的科目，而数学从来没有让我感觉有“背” 的需要，除了“九九乘法表”和初中学习三角函数时期 的“积化和差 / 和差化积”公式是需要下点功夫“背” 的。但前者在小学低年级就可以背熟了，因为那时是 把“九九乘法表”当成儿歌背诵的，完全不觉得痛苦。后者确实需要花点时间背 诵，但是这些公式之间是有相似 性的，因此是有记忆技巧的。我 的一个诀窍是，在考试开始时 就把这些公式全部默写在草稿

纸上，这样在后续的考试时间里我就不用担心了，因为我等于是把“参 考书”默写出来了。而随着学习的深入，当这些公式不再是考试内容时， 我又不用“背”了。 总之，数学从来没有让我感觉有记忆上的痛苦。上数学课的时候，我 似乎不是在学，而是等老师“帮”我把一些“顺理成章”的道理从大脑里“挖 掘”出来。我心里经常出现的声音是：“ 啊，就应该这样”，“ 对，如果是 我也会这样做”。 如果你也有这种感觉，那你学数学是绝对不会感到累的。 其次，数学不但没有背诵压力，学起来轻松，而且确实是一门可 以“玩”起来的学科。比如，在学习圆面积公式的证明时，我确确实 实是找来一张纸，照着课本上的形状完整地剪了一遍。

　　在数学考试时，我尤其喜欢做“应用题”， 因为对于我来说应用题 就像是一道道谜题，解出来会特别有成就感。所以我在本书中，也很 喜欢用应用题来说明问题，比如“三人分蛋糕”问题。 可惜的是，随着数学考试难度的 提高，出题人在试卷中提出合适的应 用题就越来越难。所以在中学之后的 数学考试里，应用题也越来越少，倒 是需要去物理试卷里找数学应用题了。 不过物理试卷中的应用题，从计算手榴弹飞出的距离到计算卫星的公 转周期，这些不也是证明了数学很好玩吗？ 最后，学数学不但好玩，而且零成本！要知道现在很多兴趣爱好 都很浪费钱财，俗语云：“ 玩 ×× 穷三代”， 但是“玩数学零负担”！ 对数学爱好者来说，一支笔一张纸就足够了。如果你会一点编程的技 能，则更是锦上添花。这么省钱又易操作的爱好，何乐而不为？ 读到这里，你可能会说：数学，我“玩”不出乐趣啊！那这就是 你需要看这本书的理由了，数学里面有很多好玩的内容是老师不教的， 但这不能怪老师，因为他们毕竟要以应付各类考试为主，而这本书所 要讲的更多是一种数学思维。 市面上的数学科普书，除去仅供中小学生看的那种“教 辅”和“竞赛”方向的，大概分两种：一种是向“历 史”的，比如论述某个问题的来龙去脉或某个 定理前赴后继的证明过程；另一种是偏 向“技术”的，就是针对某一具体 数学分支（比如概率、几何、函数等）中的问题的深度剖析。 前者读起来是很有趣味的，可惜对具 体的技术问题着墨不多，即使看过也很难对 问题本身有深入的理解。当然，这主要是因为 那些问题确实是数学里非常高深的问题，比如费马 大定理、黎曼假设等。这些问题很难用浅显的语言让一般爱好者感受 到问题本身的乐趣。而“技术”方向的科普书，往往又太过偏重“应试”， 趣味性不足，让人难以坚持下去。 我写这本《老师没教的数学》， 则是希望在以上两种数学科普书中， 找到一个折中点。一方面，尽量保持趣味性，多出一些大家喜闻乐见 的“应用题”； 另一方面，对于有深度和难度的问题，多方发掘它们所 有的背景资料，找出有意思的方面介绍出来，使得有兴趣的读者可以 有深入阅读的愿望，并方便他们找到可自行研究的入口。 在每一节的最后，我也出一些所谓的“思考题”。 这些题与每一节 的主题是有所关联的，而且部分题目的答案是开放性的，我也不知道 具体答案，是可供读者继续思考和“玩”的题。欢迎你关注我的微信 公众号（dalaoli_shuxue），或者发送电子邮件（dalaoliliaoshuxue@gmail. com）跟我聊聊你对这些题的感想，也希望你喜欢这些题。总之，如果 你能在这些题中找到“玩” 的感觉，那么我的目的就达到了。 这本书中的很多话题也许是你在其他书籍或网络文

章中看到过的，但我可以确保你从本书中了解到的是有关此问题的（成书时）最新研究成果，绝 不是老生常谈或浅尝辄止。另外，我也尽量配一些有意思的图片来帮助你理解问题。 有种说法是：“ 数学书中每增加一个公式，图书销量就会减少一 半”， 本书仍不可避免地会有些公式。但书中的绝大多数公式是中学生能看懂的，而且针对每个公式我也尽量配合具体文字进行说明，让你看得不累，最终使你能欣赏公式之美，喜欢公式，甚至能够“玩”公式。 最后，我要感谢电子工业出版社，使得本书得以出版。感谢互联网上无偿分享、为我提供众多写作素材的网站和博主，特别是：维基百科，Numberphile@YouTube，mathworld.wolfram.com，quantamagazine. org 和 John D.Cook。 还要感谢我的太太为我绘制了书中的所有插图。因本书属于科普性质，具体数学问题的描述难免有不精当之处，万望读者指正并谅解。 希望你在数学大海中“玩” 得开心！

装　　帧：平装

页　　数：290

版　　次：1

开　　本：16开

纸　　张：胶版纸