数学哲学引论

再版前言
绪论
第一章 数学与科学
第一节 毕达哥拉斯学派及其影响
第二节 近代科学的数学化
第三节 现代科学的数学化
第四节 科学对数学化的作用
第二章 数学与心智
第一节 柏拉图学派及其影响
第二节 近代的数学柏拉图主义
第三节 现代的数学柏拉图主义
第四节 约定主义及有关学派
第五节 心智在数学中的作用
第三章 数学与经验
第一节 亚里士多德学派其影响
第二节 近代的数学经验主义
第三节 现代的数学经验主义
第四节 经验在数学中的作用
第四章 数学与逻辑
第一节 数学与逻辑关系的演变
第二节 逻辑主义学派及其影响
第三节 逻辑逻辑数学中的作用
第五章 数学与直觉
第一节 近代的数学直觉主义
第二节 现代的数学直觉主义
第三节 直觉在数学中的作用
第六章 数学与形式化
第一节 数学形式化的历史发展
第二节 形式主义学派及其影响
第三节 形式化在数学中的作用
第七章 数学与辩证法
第一节 古代数学中的辩证法
第二节 近代数学中的辩证法
第三节 现代数学与辩证法
第四节 辩证唯物主义数学观的发展
结语
附录一：数学思维与思维训练
附录二：有机的数学观
附录三：中国传统知识的量化特征及其对数学的影响
附录四：与数学哲学研究相关的几部译著简介
后记
再版附记

书摘
“科学的数学化”常被认为是现代术语，其实这个术语所表示的事件从伽利略的时代就已出现了。这是数学与科学关系的一次重大转折。
在伽利略生活的16世纪之前，由于亚里士多德学派的影响，人们相信事物的定性的质是基本的，任何现象的原因都是质的原因。科学的任务就在于找出事物定性的质，而量的描述是为定性分析服务的。受这种观点所支配，在整个中世纪里，甚至有关无限、连续、变化率等纯数学的问题，也都是采取定性分析的方法主硬地进行讨论的。16世纪以后，伽利略开创了对物理学的数学解释。受毕达哥拉斯学派的影响，伽利略坚信自然界这本“大书”是用数学语言写出的，自然界按照完美而不变的数学规律活动着。因此，很多物理概念和规律必须从数学原理上加以说明，并不存在什么玄妙的质。伽利略给物理学中数学公式规定的任务是“只描述，不解释”，实际上是不要定性的解释，而把量的描述作为物理规律的惟一的本质上的解释。这个思想是同当时的传统观念明显对立的。然而牛顿继承并发展了这个思想，并将其集中体现在《自然哲学的数学原理》这部巨著中。牛顿明确指出：“我们说通过数学方法，是为了避免关于这个力(指万有引力)的本性或质的一切问题，这个质是我们用任何假设都不会确定下来的。”伽利略和牛顿的思想当时遭到包括惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努列等著名科学家在内的许多人的激烈反对。人们要求他们首先定性地说明重量和引力的实质，否则就认为他们所说的一切都是荒谬的。但后来的事实清楚地表明，伽利略和牛顿的科学成就与他们的这个思想是密切相关的。正是这个思想导致了近代物理学的产生，并使物理学成为头一个数学化的领域。
比较一下古代的物理学中数学的不同地位和作用，有助于对“科学的数学化”这一概念的准确理解。古代的物理学研究中要应用数学方法，有些物理学规律(如杠杆原理、浮力定律等)是运用数学关系式表示的，但总的说来人们并未意识到物理学规律的表示离不开数学原理。近代物理学的情况恰恰与之相反。伽利略和牛顿的工作表明，数学关系式成为数学规律已变为纯数学的东西。这些规律中的数学符号仍表示确定的物理实在意义，但它们之间的关系完全是数学关系。此外，近代物理学中数学方法的应用无疑是大大强化了，而这正是由于数学关系式成为科学规律的一部分而选成的。如此看来，关键是数学原理“渗透”到科学规律中去，这才能够体现科学的数学“化”。前苏联学者B·辛卡鲁克曾认为：“所谓科学知识数学化就是数学思维的方法越来越广泛地成为一般科学的思维方法”，而这个过程“是同数学概念同时产生和发展的”，后来发生的事情只是这个过程的不断强化而已。B·C·卢基亚涅茨也有类似看法。这种观点只是强调了数学方法应用程度上的差异，却忽略了科学数学化产生的特殊历史背景和特定含义，这是不妥当的。因为取消了“科学的数学化”这一概念的特殊性，‘实际上也就无所谓数学化了。

从辩证唯物主义观点出发，如何认识直觉在数学发展中的作用呢?要回答这个问题，首先需要弄清楚数学直觉的内容和性质。
数学直觉同一般的“科学直觉”是有明显区别的。通常的“科学直觉”包含两种含义，一是人的感官对外界事物直接观察中获得的感觉、知觉和表象的总和，即“感性直觉”；二是人思维直接把握事物本质的一种内在直观认识，即“理性直觉”。在创造性思维活动中，起主要作用的是理性直觉。它通常同灵，感、顿悟、想像等概念联系在一起，构成科学研究方法论的一个重要方面。数学直觉是一种理性直觉，但它的对象不同于一般的科学直觉的对象。数学直觉的对象是经过抽象思维加工的数学实体，而科学直觉的对象是客观的物质世界。在现代科学数学化的过程中，数学直觉同理性的科学直觉日益接近，它们在反映微观世界和大尺度空间性质方面日益显示出密切的本质联系。正如同科学数学化并没有取消数学与科学的分界一样，数学直觉和理性的科学直觉的界限依然存在。一般说来，理性的科学直觉中较多形象化的东西，而数学直觉比较抽象，恰如布劳威尔等人所说，有时很难于用语言表达，给人以神秘莫测的感觉。尽管如此，仍然可以对数学直觉的内容做一些基本分析。
通过分析数学直觉主义和有关派别对数学直觉的认识，大体上可以看出，数学直觉在内容上是分层次的。布劳威尔等人所谓的“对偶性”直觉，以及康德的时空直观形式，处于较低的层次，类似于自然科学领域中的“感性直觉”。它虽然具有理性思维的特点，但同理性的科学直觉在性质上差异较大。这种直觉一般不直接参与数学研究中的创造性思维活动。庞卡莱和形式主义者所谓的另一种意义的直觉显然居于较高层次，接近理性的科学直觉，直接参与创造性思维。至于在这两个层次之间，是否还存在其他中间层次？由较低层次是如何发展到较高层次的？这些问题还有待研究。较低层次的直觉在数学发展中的作用，前面已有论及。这里着重探讨较高层次的直觉的内容。

下面来看(形式主义学派其他代表人物)在数学本体论和认识认问题上的形式主义观点。
在数学本体论问题上，形式主义学派认为，数学对象是一堆毫无实际内容的形式符号体系。不管从什么假设出发，只要这些假设能以符号形式明显地表示，用形式的演绎来推理，就成为数学。美国数理逻辑学家克林尼(S．C．Kleene)说：“从兀理论的观点来看，对象理论根本不是一个真正的理论，根本不是像我们对理论这个词所理解的那种理论，而是毫无意义的对象的系统，这些对象像下棋游戏中的棋子一样，它们只受到下棋一样的机械规则的支配。对象理论是作为一个符号系统和由符号构成的对象的系统加以描述和研究的。”美国数学逻辑学家柯亨也有类似的论述。美国数学家A·鲁滨逊甚至认为“真实的无穷不存在，理想的无穷也不存在。更严格地说，就是关于无穷整体的任何讲话或意谓实际上都是无意义的。”显然，同逻辑主义学派一样，形式主义学派也完全否定了讨论数学本体论问题的必要性，当然更不承认数学对象有任何客观意义。那么，毫无实际内容和客观意义的形式符号体系如何能应用于现实世界呢?形式主义学派的解释是：“按数学的公理形式说，数学是抽象形式——数学结构的积累，可是实际上不知为什么发现，实验情况的某方面好像是由于命运注定会装进某些抽象形式。”这种回答显然是没有说服力的。美国数学家布劳德和莱思评论说：“庸俗的形式主义教条甚至极力反对数学的任何部分有任何客观内容的可能性。似乎甚至极力反对由历史决定的数学领域的意义和内容，也反对其中的直觉和中心问题。在用数学来分析自然现象方面，它原则上使任何有意义的应用看上去成为一个奇迹，成为意志对内容的一个胜利。正是按照这个庸俗的形式主义数学概念使得E·威格纳的名言‘数学在物理科学中不合理的有效性’获得其心理上的说服力。的确，毫无意义的符号游戏又怎能与物质世界的过程有任何内在的或重要的联系呢?”有些形式主义者，如克里、A·鲁滨逊等人，也曾求助于实用的标准。但因与形式主义的原则也没有必然联系，同样难以说明数学的应用。
由于形式主义学派否认数学包含任何客观内容，所以认为数学体系无真理性可言，只能考虑其可接受性问题。形式主义者把数学认识活动完全限于认识主体自身范围内。在他们看来，数学发展的主要动力是内在的原因，也就是对于要解决的问题本身的深入思考，而问题的来源如何关系不大。他们相信，数学思维的演化是以自然的方式进展的，甚至可以说是“定做的”，这里存在着一个最适的“自然”进化过程。应该指出，形式主义学派并不赞成毫无任何根据的抽象和形式化、公理化，他们要求解决问题，富有成果。但他们所指的问题绝大部分是数学自身的问题。丢东涅说：“这种经常地、富有成效地和自然科学的应用紧密相联系的数学领域，尽管很重要，其中不少领域并不构成真正的数学分支的主要部分。”因此，形式主义学派的很多数学家们对数学发展中经验和应用的启示不屑一顾。有的形式主义者甚至主张，在数学教育中也无须引入直觉、经验和应用的因素。只要把形式化的数学结构体系直接灌输到学生脑子里就成了。这种观点在数学研究和教学中都产生了一定的消极影响。
受形式主义学派影响而发展起来的法国布尔巴基学派，在促使数学理论体系进一步形式化方面做了大量工作。这个学派认为，数学各分支应按结构性质划分，运用公理化方法按照结构观点重新加以整理。所谓“结构”，是一些用若干公理来定义的基本数学关系。最基本的结构有三种，即代数结构、序结构和拓扑结构。以这三种结构为基础，可以形成各种复合结构、多重结构、混合结构，等等。全部或绝大部分数学内容都可以归结为各种结构，数学的发展无非是结构的建成或重组而已。依据这种观点，布尔巴基学派对各数学分支的内容逐一进行分析、概括、抽象，提炼出其中的结构关系，并力图揭示各种数学分支之间结构上的内在联系。如果说希尔伯特的元数学把数学形式化引导到日益抽象的方向，那么布尔巴基学派则是回过头来，立足于更高抽象层次来重新认识全部数学了。布尔巴基学派力图向人们澄清“形式化”和“形式主义”的含义，对它们给予正确解释。他们指出：“重要的是从一开始就要注意防止应用这些定义不确切的词所引起的混乱，以及注意公理方法的反对者也经常使用这些词而引起的误解。”数学的一大堆形式符号和推理程序、公式组合，无非是数学自身的语言，是数学家赋予他的思想的外部形式。数学既不是一串随便发展起来的三段论式，也不是一堆“高明”的技巧。公理方法的目的是引导人们寻求这些细节下面的深刻的共同的思想。数学结构的形式原先都是有确定的直观内容的。正是通过小心地扔掉这个内容，才有可能赋予这些形式以它们所能显示的威力，并且使得自身易于接受新的解释并发挥出它们全部的威力。“形式”这个词只是在这个意义下才能使公理方法被称为形式主义。它是数学这个有机整体发育中的营养液，是方便和多产的研究工具。显然，布尔巴基学派的观点同希尔伯特的观点是基本一致的。应该注意，布尔巴基学派在解释数学的形式与内容关系时，实际上是讲两个问题。其一，数学的形式化必须摆脱其直观内容的局限性，这是数学抽象思维所必需的。这里讲的“形式”与“内容”的分离是一般概念与具体事物的区别。只是由于数学思维和语言的特殊性，必须用形式符号表示更高抽象层次的数量关系，所以才出现形式化的现象。其二，数学的形式符号本身是表示实际思想内容的，符号和公式不是主观随意的堆砌和技巧的产物，而是表示数学领域各种复杂的结构和数量关系。这时，“形式”和“内容”具有通常的语义，它们是不可分割的。不考虑数学发展的历史过程和现实的内容，主观人为构造各种形式系统，玩弄形式符号和公式游戏，显然是不正确的。布尔巴基学派坚决反对这种通常意义上的片面的“形式主义”。布尔巴基学派的辩解，有助于人们正确理解形式主义学派的主张。实际上，形式主义作为一种现代数学哲学主张，主要是强调数学形式化在表达数学抽象思维过程方面的意义，它所谓的“形式”和“内容”并非处于同一抽象层次上(有些极端的形式主义者强调数学符号“毫无实际内容”，基本上也是就这个意义而言的)。然而，许多人往往把数学哲学中这种有特定含义的形式主义同哲学上或通常意义上那种片面割裂形式与内容的形式主义混为一谈，加以批判和排斥。而那种形式主义是形式主义学派本身也加以反对的(也正因为如此，像希尔伯特、冯·诺伊曼这些人才没有因主张形式主义而影响其他方面的数学研究工作，并且在数学与科学、理论与实践等方面关系上持自发唯物主义观点。数学形式主义的这种特殊性是必须引起注意的)。
布尔巴基学派工作的具体成果，收入多卷本的巨著《数学原本》之中。这部巨著结构严谨、思路清晰，形式化程度相当高；使人们能从一些最基本的数学结构出发一览整个数学领域的全貌。从认识论角度看，布尔巴基学派提供了一个内容极为丰富的“思维中的具体”，这是对现代数学形式化发展的一个十分必要的总结，同时又为数学的进一步发展奠定了基础。布尔巴基学派在对待会理化方法的理解和使用上，同早期的一些形式主义者相比，要较为全面、灵活，具有一定的辩证思维特征，这一点后面还要谈到。
形式主义学派对数学教育的影响发生较晚，大体上是20世纪60年代后出现的，这就是前面提到的“新数学”运动。这场运动历时十余年，却在世界上大部分地区遭到失败，其根本原因
在于指导思想的错误。从认识论角度看，抽象思维能力的形成是以直观的具体事物的观察分析为基础的。从感性的具体到理性的抽象，是一个思维发育的过程。数学教育不可能回避这个过程。如果不经过对感性具体的观察分析和对抽象思维能力本身的逐渐培育，单纯地灌输抽象思维的成果，即形式化的数学知识，那只能是建造“空中楼阁”，没有不失败的。形式主义学派力图使数学抽象能力摆脱感性直观的局限，这当然是对的。但片面地追求抽象化和形式化程度的提高，使形式主义者忽视了一个基本事实：数学研究和数学教学毕竟不是一回事。一个成熟的现代数学家可以完全摆脱感性直观内容来搞纯形式的数学研究，但他是经历了一个相当长的思维发育过程才达到这一境地的。不可能幻想幼儿会一下子接受成年人的思想。同样，现代的形式化成果对于中小学生来说也是不好消化的。当然，考虑到学生思维发育规律，适当加快培养学生抽象思维能力的过程，不仅可能而且必要。这一点后面还要论及。
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