大夏书系•数学教学高手的秘密

对现在的和将来的数学老师而言，提高学科素养是一个迫切任务，数学教师应聚焦学生发展核心素养，以提升学生终身学习能力为理念，教学中既要强调学习数学思想和方法，又要注重数学思想方法更普遍的思维意义，促进学生思维、能力和数学素养的全面发展，推进基于核心素养发展的教学改革。
——林运来

《数学教学高手的秘密》全书紧紧围绕“如何成为数学教学高手”这一主旨，紧扣教育教学实际，从“高手的专业修炼”“高手的教学探索”“高手的解题智慧”三个方面，系统总结数学名师林运来专业发展的经历与经验，告诉一线中学教师成为数学教学高手的实战智慧，有助于一线教师找到快速成长的路径与秘诀。此书是初高中数学教师打造有效课堂、成长为优秀教师的必备参考书。

林运来，高级教师，中国数学奥林匹克高级教练，福建省“十三五”数学学科带头人培养对象。在《中国教育报》等报刊发表论文100余篇，多篇被人大复印报刊资料全文转载，出版专著3部。主持全国教育科学“十一五”规划课题一项，曾获贵州省教育厅数学教育创新一等奖，所教学生高考总分曾获全省一、二、三名，个人事迹被《贵州新闻联播》等媒体报道。

秘密一 高手的专业修炼

修炼一 专业阅读/003
阅中解“惑”，读中导“学”/00
我们该读一读数学史/010
开启一扇认识数学世界的窗口/016

修炼二 专业写作/019
在观课中摄取，在评课中凝练/019
选题、规范与创新/025

修炼三 专业研究/032
为师三境/032
对数学教师学科素养的几点思考/039
注重核心素养，引领数学改革/044
活跃在高考中的无理常数π/051
中美两道考题带给我们的启示/055
自主招生试题对命题的启示/060
对六年高考数学福建卷的研究/064


秘密二 高手的教学探索

探索一 教学实践/075
妙用诗歌对联，打造诗意课堂/075
大道至简，宁朴勿华/081
浅谈将数学史知识融入数学课堂教学的途径/087
“程序框图与算法的基本逻辑结构（一）”教学设计/093
在数学知识学习中提升学生的数学核心素养/098
失败是人生的宝贵财富/103

探索二 教学研究/108
从看似“鸡肋”的内容“做足”学生对数学的理解/108
数学高考试题对高三复习的启示/113
让人开窍的图形/121

探索三教学评价/127
让学习成为研究/127
巧用评价语，让课堂生成正能量/133
促进理性思维，培养良好习惯/136
他山之“思”可攻玉/143


秘密三 高手的解题智慧

智慧一 解题理论/151
怎样解题表/152
学会解题的四步骤程式/155
怎样学会解数学题/157

智慧二 解题案例/160
陈题新解/160
难题简解/168
一题多解/175
考题巧解/188
趣题妙解/202

智慧三 错解辨析/207
数学解题不可缺失理性/207
评析《数学通讯》问题243/212
这道题真的不宜用参数方程解吗？/214
数列学习中的9个易错点/217
三角函数学习中的8个易错点/221


主要参考文献/227

中美两道考题带给我们的启示

美国南加州中学一道有趣的数学试题：

Proof that girls are evil.（证明女孩是魔鬼。）

老师在试卷上给出证明该命题所需要用到的假设和已知条件，然后让学生根据条件，证明假设成立。

我们先来看一看这道题的证明过程：

首先，“‘追’女孩需要时间和金钱”，那么根据这个给出的假设条件可以得出：Girls=time×money（女孩等于时间乘以金钱）。

而我们知道“时间=金钱”，由这个已知条件可以得出：

Girls=money×money=(money)2，即女孩等于金钱的平方。

And because “money is the root of evil”（同时，因为“金钱是万恶之源”），这句话中的英文单词root本指根源，但在数学上却表示平方根，因此从数学意义上可以得出：

Money=evil。

而女孩等于金钱的平方，将上式进行替代转换后得到：

Girls=(evil)2。

上式中的根号和平方相抵，由此可以证明：

Girls=evil，即女孩是魔鬼。

思考1：这道题考什么？

用我们的常规视角来分析，这样的试题，没有一个数字，没有几何图形，还叫数学题吗？证明的结果让人感到莫名其妙，老师这么考的目的是什么？是不是另有深意呢？这让我陷入了深思。

李邦河院士曾指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。”概念是数学思维方式构建或转变的基石，核心概念更是数学教学的重大关切。然而，只有概念并没有什么实际意义，也不能表达一个完整的的思想，只有将概念和概念按一定的规则连接起来，才能形成命题，表达一个完整的思想。命题彩线串珠般把概念连接起来，共同编织光辉灿烂的数学理论体系，集中体现了人类对世界的认识成果。美国的数学教育正试图证明这一点：数学不仅仅是计算和应用公式，数学的实质是思维方式，是演绎和归纳的逻辑思维方式。案例中，教师给予一定的假设和条件（主要就是概念），要求学生依据这些假设和条件，通过全方位的思考和辨析，由浅表向纵深发展，渐渐探寻到问题的本源，进而证明“女孩=魔鬼”，这就使得一些“纯数学”的抽象概念迅即人文化、具体化了。在命题的证明中，学生思维的条理性和严密性都得到了一定程度的增强，提高了解题能力和处理信息（教师给出的各种假设）的能力，逐步体会到“言必有据”的推理特征，使懵懂的孩子领悟理性的精神，接受古希腊理性文明的洗礼，在内心深处出现了理性文明的震撼。这种震撼，和欣赏罗中立的油画，听贝多芬的命运交响曲一样，都是一次心灵的激荡。

思考2：对命题有什么启示？

众所周知，学生只有保持对数学的好奇心，主动去探索数学的基本规律，才能成为一个懂数学的人。我想，即使一个不喜欢数学学科的人，看到这样的问题，一定也会眼前一亮，在心里琢磨一下应该怎么做吧？有评价者指出，这样一道非常有趣的试题，即使生性再懒惰的学生也会兴趣盎然，因为这样的试题可以让学生自由发挥想象力，在享受考试的同时加深对一些知识的了解和掌握。

在教学中，如果我们只讲解具体的知识点，而没有让学生去证实或伪证自己的假设，那就忽略了对学生的怀疑精神的培养。实际上，上面的这道考题对培养学生的演绎推理和归纳推理的能力而言，更具有前瞻性。反观国内的数学试题，大部分都陷入单纯的数字演算之中，为了知识而使数学失去了本来的丰富多彩，也使学生丧失了数学学习的兴趣和热情，其实是本末倒置。

我校“六年一贯制实验班”招生考试的一道试题：

我国唐代的天文学家、数学家张遂曾以“李白喝酒”为题材编了一道算题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗（斗是古代酒具，也可作计量单位）。三遇店和花，喝光壶中酒，借问此壶中，原有多少酒？（要求写出解题的思路）

这道开放性问题引发了我们的思考。

思考1：什么样的问题可以称为好问题？

这道题的创新点主要有以下几点：

第一，从问题创设看，具有很大的趣味性。问题以幽默诙谐的打油诗呈现，诗意明白，问题清楚——李白酒壶中原有多少斗酒？

第二，从解法上看，可以顺思，也可以逆想。顺思即从“原有酒的数量”出发，“持因探果”，顺流而下：设“壶中原有x斗酒”，“遇店加一倍”——乘以2，“见花喝一斗”——减去1，直至“喝光壶中酒”——结果为0。逆想即从“喝光壶中酒”——结果为0出发，“持果索因”，逆流而上：“见花喝一斗”——把酒还入壶中，加上1，“遇店加一倍”——把酒还给店家，除以2。所以此题能很好地考查学生的分析和推理能力。

第三，从解题结果看，“三遇店和花”，没有说明店和花的排列顺序，所以店与花的顺序不同，便有不同的结果，可谓“答案丰富多彩”，很好地考查学生的发散思维。

第四，从解题要求看，要求考生写出自己的解题思路，也就是回答出“怎么想到的”，对解法和结果要有一个“合理的解释”，进一步考查了学生的逻辑思维能力和语言表达能力。

试题留给学生很大的想象空间，涌现出不少极富创意的答案。下面我们来看学生的精彩解答。

解法1：我认为李白最后一次遇到的不一定是“花”，下面我以“店花店花花店”为例，我的解答是（从最后一个空倒着填写）：


顺序店花店花花店
酒壶中的酒（斗）121210

所以，酒壶中原有1斗酒。

评析：这是解答的精彩之作，它构思新颖，没有流于俗套（在网上有许多人对此题进行解答，都认为要喝光壶中的酒，李白最后一次遇到的一定是“花”）。在解答问题时，灵活运用数学中的逆向思维，巧妙地借助“表格法”，从最后的结果入手，通过填写表格，“顺藤摸瓜”，圆满解决问题。解答简便，操作简单，因此思维显得开阔、严谨。

还有学生把题目“还原”成一个故事，很有趣味性。

解法2：我想，李白“三遇店和花”的顺序可能是“花花花店店店”，他的酒壶中原有3斗酒，第一次遇见花，喝了1斗，第二次又遇见花，喝了1斗，第三次还是遇见花，喝光了壶中最后1斗酒，这时，李白已经喝得快醉了。他遇到一家酒店，准备买点酒，于是走到店里，对店小二说：“店家，买酒！”店小二说：“买多少？”“里面有多少就买多少！”店小二一看，怎么一个空壶？不行，这位客官喝多了，不能让他再喝了，于是，把壶还给了李白。后来，李白遇到两家酒店，也都是同样的结果。于是，李白拿着空壶回家了。

总之，此题涉及对“三遇店和花”顺序的不同排列，于是，问题有多种答案（经过计算可知，不同的排序结果有20种）。虽然没有要求学生回答出所有的结果，但学生的每一种解答，都很好地展现了学生的数学思维，让我们看到学生的智慧在闪光。

上面两道考题展现出命题的异曲同工之妙，演绎隔海相望的两个不同国度的精彩。这样的试题可以称为好的问题。

思考2：“分数重要”还是“思维重要”？

1984年4月20日，钱学森接受北师大附中教师访问时说，自己念书时附中的选修课很多，“每天中午大家吃了午饭，在教室里互相交谈感兴趣的各种科学知识，数学的、物理的、化学的，什么都有……”可以看出，那时的学生没有考试追高分的压力，他们把大量的时间用来“玩”，其实他们的“玩”，就是读课外书、动手实验和外出实践。正是这种没有过多限制、形式多样的教育让钱老对知识充满了兴趣，他博览群书，对探索新知充满了兴趣。著名数学教师傅仲孙先生提倡创新，在给学生的测验评分时别出心裁，如果出5道题，学生都答对了，但解法平淡，只给80分；如果答对4道题，但解法有创新，就给100分，还要另加奖励。

在考试中出现这样的题目，有利于学生独立思考能力和发散性思维的培养，无疑是对现行“填鸭式”教学、“唯标准答案”考试进行纠偏的有力尝试，体现了“创造力与想象力远比记忆力更重要”，对培养学生的创新精神大有裨益。

在数学学习中，具体的知识学习多年后学生会逐渐忘却，但是研究问题的方法和思路一旦领会就终生难忘，这才是数学教育给予学生的长远影响和一生中取之不完的利息。

《学会生存》一书对未来教师是这样描述的：“教师的职责体现在越来越少地传授知识，而越来越多地激励思考；他必须集中更多的时间和精力从事那些有效果和有创造性的活动。”试想，一个没有创新思维、固步自封的教师，怎么能培养出具有创新思维和能力的学生？而一个观念开放、思维活跃、态度积极、对未来科学发展方向有着较为敏锐眼光的教师，对培养孩子的创新能力有着积极的影响，正如陈景润解决哥德巴赫猜想，是由他的老师提起而激发出其解决的欲望。